www.zakladalgebry.fora.pl

Witek

Dla jakich n grupa symetryczna S_n jest generowana przez transpozycję i permutację rzędu pierwszego bez punktów stałych?

Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna gdy n=p jest liczbą pierwszą. Wtedy S_p jest generowana przez cykle (12) i (12...p).

Dla n=4 odpowiedź jest negatywna. Bo takie pary generują w S_4 podgrupę izomorficzną z D_4.

megapucik

Dla n=6 też negatywna - możliwości (z dokł. do izomorf):
|gp((1,2)(3,4)(5,6), (1,3)|=8
|gp((1,2,3)(4,5,6), (1,4)|=24
(GAP; brałem tylko takie pary generatorów w których transpozycja łączy jakieś dwie orbity w jedną)

Myślę, że nie znam odpowiedzi tylko w przypadku, gdy n=2p, p liczba pierwsza, bo:
jeżeli n=pr, p - liczba pierwsza różna od 2, r całkowita większa od dwóch to dowolna permutacja rzędu pierwszego bez punktów stałych będzie iloczynem co najmniej trzech rozłącznych cykli rzędu pierwszego (niekoniecznie p) - więc generując sama grupę utworzy co najmniej 3 orbity. Dodając do tej permutacji dowolną transpozycję uzyskamy więc grupę, która ma co najmniej dwie orbity (transpozycja może skleić maksymalnie 2 orbity), zatem nie może być S_n (która ma 1 orbitę).

Możliwe, że dla n=2p (p pierwsza) odpowiedź też jest nietrudna ale jestem przeziębiony i w trakcie weekendu ze studiami zaocznymi więc odpowiedź na ten przypadek zostawiam innym. Jednak i tu mam przemyślenia:

bowiem dla n=2p (p pierwsza) na podstawie paru prób w GAPie domyślam się, że też nie wygeneruje się cała S_n; rozpatrując przypadek, w którym jedna permutacja rzędu pierwszego bez pkt stałych generuje grupę, która ma 2 orbity (czyli permutacja składająca się z dwóch rozłącznych cykli długości p) to grupa prawdopodobnie będzie mieć p*2^p elementów.

Witek

Dzięki za odpowiedź. Niestety obawiam się, że dla n=2p odpowiedź też jest negatywna.

Czy w takim razie grupa S_n jest generowana przez permutacje rzędu pierwszego (niekoniecznie dwie), które nie mają punktów stałych?